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Ecuaciones trigonométricas

Ecuaciones trigonométricas:

Una ecuación trigonométrica es aquella en que la incógnita aparece ligada a una ecuación trigonométrica.

Ecuaciones del tipo una función trigonométrica igualado a una constante

Ecuaciones del tipo      a·sen(bx) = c   ,   a·cos(bx) = c   ,   a·tg(bx) = c

1)   Resuelve la siguiente ecuación:   cos x = 1/2

  • Para resolver la ecuación    cos x = 1/2    hay que buscar los ángulos cuyo coseno valga   1/2 
  • Lo expresamos como   x = arc cos 1/2   que expresa que   x   es el ángulo cuyo coseno es   1/2 
  • Como el coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrante, tendrá dos soluciones en el primer giro



angulos que suman 360º



    • Soluciones del primer giro son   60o   y   300o

    • Los demás ángulos que cumplen la ecuación son los que se obtienen al sumar o restar vueltas completas a las dos soluciones halladas, es decir:    60o + k·360o   y   300o + k·360o

2)   Resuelve la siguiente ecuación:   tg x/2 = 1

  • Para resolver la ecuación    tg x/2 = 1    hay que buscar los ángulos cuya tangente valga   1 
  • Lo expresamos como   x/2 = arc tg 1   que expresa que   x/2   es el ángulo cuya tangente es   1 
  • Como la tangente es positiva en el primer y tercer cuadrante, buscamos las dos soluciones


    • La función tangente tiene periodo   180o   o  π radianes ,    por lo tanto encontramos las soluciones en el intervalo  (-π/2, π/2)   y luego sumamos multiplos de   π .
    • La solucióon en el intervalo   [0, 2π]   es:     x = 90o
    • Los demás ángulos que cumplen la ecuación son los que se obtienen al sumar o restar    2π    a las dos soluciones halladas, es decir:    90o + 2k·π

3)   Resuelve la siguiente ecuación:   sen 2x = 0

  • Para resolver la ecuación    sen 2x = 0    hay que buscar los ángulos cuya tangente valga   0 
  • Lo expresamos como   2x = arc sen 0   que expresa que   2x   es el ángulo cuyo seno es   0 



Ecuaciones del tipo      a·sen f(x) = c   ,   a·cos f(x) = c   ,   a·tg f(x) = c

1)   Resuelve la siguiente ecuación:   2·sen (2x + 15o) = 1

  • Para resolver la ecuación hay que buscar los ángulos cuyo seno valga   1/2 
  • Como el seno es positivo en el primer y segundo cuadrante, buscamos las dos soluciones
  • Los del primer giro son   30o   y   150o   pero encontraremos más en las siguientes vueltas

angulos suplementarios




    • Las soluciones del primer giro para   k = 0   son  7,5o   y   67,5o

    • Las soluciones del primer giro para   k = 1   son  187,5o   y   247,5o

Ecuaciones que hay que factorizar

Funciones de ángulos multiples

1)   Resuelve la siguiente ecuación:   sen 2x - cos x = 0

  • Para resolver la ecuación hay que factorizar y resolver cada una de las ecuaciones
  • El coseno se anula en el primer giro en  90o   y   270o
  • El seno es positivo en el primer y segundo cuadrante
    Los del primer giro son   30o   y   150o   pero encontraremos más en las siguientes vueltas


    • Las soluciones del primer giro son    30o   ,   90o   ,   150o   ,   270o

2)   Resuelve la siguiente ecuación:   sen 3x + sen x = 0

  • Para resolver la ecuación hay que factorizar y resolver cada una de las ecuaciones
  • El seno se anula en  0o   y   180o   pero encontraremos más en las siguientes vueltas
  • El coseno se anula en el primer giro en  90o   y   270o


    • Las soluciones del primer giro son    0o   ,   90o   ,   180o   ,   270o

Ecuaciones en las que hay que expresar todas las razones trigonométricas en función de una sola

1)   Resuelve la siguiente ecuación:   cos 2x + sen2x = 1

  • Para resolver la ecuación se desarrolla   cos 2x   y resulta una ecuación de segundo grado incompleta


    • Las soluciones del primer giro son    0o   ,   180o

2)   Resuelve la siguiente ecuación:   tg 2x·tg x = 1

  • Para resolver la ecuación se desarrolla   tg 2x   y resulta una ecuación de segundo grado incompleta


    • La función tangente tiene periodo   180o   o  π radianes ,    por lo tanto encontramos las soluciones en el intervalo  (-π/2, π/2)   y luego sumamos multiplos de   π .
    • Las soluciones en el intervalo   [0, 2π]   son:   π/6 = 30o   ,   5π/6 = 150o   ,   7π/6 = 210o   ,   11π/6 = 330o


Elevando al cuadrado y convirtiendo a tipo cuadrático

3)   Resuelve la siguiente ecuación:   sen x + cos x = 1

  • Para resolver la ecuación elevamos ambos miembros al cuadrado. Hay que tener en cuenta que en nuestro caso, al resolver la ecuación elevando ambos términos al cuadrado, también vamos a obtener las soluciones de senx + cos x = -1


    • Las soluciones del primer giro son    0o   ,   90o

    • Son soluciones:    x = 0o + k·360o   ,    x = 90o + k·360o        (k∈Z)

    • No cumplen la ecuación las soluciones    180o   ,   270o

Ecuaciones donde hay que aplicar los teoremas de adición

1)   Resuelve la siguiente ecuación:

      

  • Para resolver la ecuación aplicamos la fórmula de la adición de ángulos


    • Las soluciones del primer giro son    30o

    • Son soluciones:    x = 30o + k·360o        (k∈Z)

izquierda
         arriba
derecha