Ecuaciones trigonométricas
Ecuaciones trigonométricas:
Una ecuación trigonométrica es aquella en que la incógnita aparece ligada a una ecuación trigonométrica.
Ecuaciones del tipo una función trigonométrica igualado a una constante
Ecuaciones del tipo a·sen(bx) = c , a·cos(bx) = c , a·tg(bx) = c
1) Resuelve la siguiente ecuación: cos x = 1/2
- Para resolver la ecuación cos x = 1/2 hay que buscar los ángulos cuyo coseno valga 1/2
- Lo expresamos como x = arc cos 1/2 que expresa que x es el ángulo cuyo coseno es 1/2
- Como el coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrante, tendrá dos soluciones en el primer giro
- Soluciones del primer giro son 60o y 300o
- Los demás ángulos que cumplen la ecuación son los que se obtienen al sumar o restar vueltas completas a las dos soluciones halladas, es decir: 60o + k·360o y 300o + k·360o
2) Resuelve la siguiente ecuación: tg x/2 = 1
- Para resolver la ecuación tg x/2 = 1 hay que buscar los ángulos cuya tangente valga 1
- Lo expresamos como x/2 = arc tg 1 que expresa que x/2 es el ángulo cuya tangente es 1
- Como la tangente es positiva en el primer y tercer cuadrante, buscamos las dos soluciones
- La función tangente tiene periodo 180o o π radianes , por lo tanto encontramos las soluciones en el intervalo (-π/2, π/2) y luego sumamos multiplos de π .
- La solucióon en el intervalo [0, 2π] es: x = 90o
- Los demás ángulos que cumplen la ecuación son los que se obtienen al sumar o restar 2π a las dos soluciones halladas, es decir: 90o + 2k·π
3) Resuelve la siguiente ecuación: sen 2x = 0
- Para resolver la ecuación sen 2x = 0 hay que buscar los ángulos cuya tangente valga 0
- Lo expresamos como 2x = arc sen 0 que expresa que 2x es el ángulo cuyo seno es 0
Ecuaciones del tipo a·sen f(x) = c , a·cos f(x) = c , a·tg f(x) = c
1) Resuelve la siguiente ecuación: 2·sen (2x + 15o) = 1
- Para resolver la ecuación hay que buscar los ángulos cuyo seno valga 1/2
- Como el seno es positivo en el primer y segundo cuadrante, buscamos las dos soluciones
- Los del primer giro son 30o y 150o pero encontraremos más en las siguientes vueltas
- Las soluciones del primer giro para k = 0 son 7,5o y 67,5o
- Las soluciones del primer giro para k = 1 son 187,5o y 247,5o
Ecuaciones que hay que factorizar
Funciones de ángulos multiples
1) Resuelve la siguiente ecuación: sen 2x - cos x = 0
- Para resolver la ecuación hay que factorizar y resolver cada una de las ecuaciones
- El coseno se anula en el primer giro en 90o y 270o
- El seno es positivo en el primer y segundo cuadrante
Los del primer giro son 30o y 150o pero encontraremos más en las siguientes vueltas
- Las soluciones del primer giro son 30o , 90o , 150o , 270o
2) Resuelve la siguiente ecuación: sen 3x + sen x = 0
- Para resolver la ecuación hay que factorizar y resolver cada una de las ecuaciones
- El seno se anula en 0o y 180o pero encontraremos más en las siguientes vueltas
- El coseno se anula en el primer giro en 90o y 270o
- Las soluciones del primer giro son 0o , 90o , 180o , 270o
Ecuaciones en las que hay que expresar todas las razones trigonométricas en función de una sola
1) Resuelve la siguiente ecuación: cos 2x + sen2x = 1
- Para resolver la ecuación se desarrolla cos 2x y resulta una ecuación de segundo grado incompleta
- Las soluciones del primer giro son 0o , 180o
2) Resuelve la siguiente ecuación: tg 2x·tg x = 1
- Para resolver la ecuación se desarrolla tg 2x y resulta una ecuación de segundo grado incompleta
- La función tangente tiene periodo 180o o π radianes , por lo tanto encontramos las soluciones en el intervalo (-π/2, π/2) y luego sumamos multiplos de π .
- Las soluciones en el intervalo [0, 2π] son: π/6 = 30o , 5π/6 = 150o , 7π/6 = 210o , 11π/6 = 330o
Elevando al cuadrado y convirtiendo a tipo cuadrático
3) Resuelve la siguiente ecuación: sen x + cos x = 1
- Para resolver la ecuación elevamos ambos miembros al cuadrado. Hay que tener en cuenta que en nuestro caso, al resolver la ecuación elevando ambos términos al cuadrado, también vamos a obtener las soluciones de senx + cos x = -1
- Las soluciones del primer giro son 0o , 90o
- Son soluciones: x = 0o + k·360o , x = 90o + k·360o (k∈Z)
- No cumplen la ecuación las soluciones 180o , 270o
Ecuaciones donde hay que aplicar los teoremas de adición
1) Resuelve la siguiente ecuación:
- Para resolver la ecuación aplicamos la fórmula de la adición de ángulos
- Las soluciones del primer giro son 30o
- Son soluciones: x = 30o + k·360o (k∈Z)