Representación de funciones racionales
Representa gráficamente la función:
Función racional.
Al tratarse de una función racional tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador para hallar el dominio:
x2 - 4 = 0 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = ±√4 = ±2
• Dom(f) = R - {-2, 2}
• Im(f) = R = (-∞, +∞)
Continuidad y tipos de discontinuidad
La función es continua en R - {-2, 2} , es decir, es discontinua en los puntos x = -2 y x = 2
• Corte con el eje OX: f(x) = 0
El punto de corte es: (0, 0)
• Corte con el eje OY: f(0)
El punto de corte es: (0, 0)
Como el punto de corte con el eje OX es x = 0 y además la función es discontinua en los puntos x = -2 y x = 2 , tenemos que estudiar los siguientes intervalos: (-∞, -2) , (-2, 0) , (-2, 0) y (0, +∞) :
Intervalo | (-∞, -2) | (-2, 0) | (0, 2) | (2, +∞) |
---|---|---|---|---|
Punto de prueba | f(-3) < 0 | f(-1) > 0 | f(-1) < 0 | f(3) > 0 |
Signo de f (x) | - | + | - | + |
En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes, los puntos de distintinuidad y las regiones donde no hay curva.
Por lo tanto la función es simétrica respecto al origen O(0, 0) .
No es periódica porque las funciones racionales nunca lo son.
Asíntotas
Para hallar las asíntotas verticales tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador:
x2 - 4 = 0 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = ±√4 = ±2 (estos valores no anulan al numerador)
Por lo tanto existen dos asíntotas verticales en x = -2 y x = 2
Para estudiar la posición de la curva respecto a las asíntotas verticales estudiamos los límites laterales:
Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:
A continuación calculamos la posición relativa de la curva respecto a la asíntota horizontal:
Como la función tiene una asíntota horizontal, entonces no puede tener asíntotas oblicuas.
Monotonia: crecimiento y decrecimiento
Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
El numerador de la primera derivada no se anula para ningún valor, puesto que x2 ≠ -4 para cualquier valor de x .
Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos de discontinuidad sin incluir ninguno más puesto que no hay ningún valor que anule a la derivada primera: (-∞, -2) , (-2, 0) , (0, 2) , (2, +∞)
Intervalo | (-∞, -2) | (-2, 0) | (0, 2) | (2, +∞) |
---|---|---|---|---|
Punto de prueba | f ' (-3) < 0 | f ' (-1) < 0 | f ' (1) < 0 | f ' (3) < 0 |
Signo de f ' (x) | - | - | - | - |
Monotonía | Decrece | Decrece | Decrece | Decrece |
Por el apartado anterior sabemos que ningún valor anula a la primera derivada, por lo tanto la función no tiene puntos críticos. Es decir, la función no tiene máximos ni mínimos.
Curvatura y puntos de inflexión
Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
La segunda derivada se anula para x = 0 y 2x2 + 24 = 0
La segunda ecuación no tiene solución real, por lo tanto la segunda derivada solamente se anula para x = 0 .
Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos de discontinuidad incluyendo el valor que anula a la segunda derivada: (-∞, -2) , (-2, 0) , (0, 2) , (2, +∞)
Intervalo | (-∞, -2) | (-2, 0) | (0, 2) | (0, +∞) |
---|---|---|---|---|
Punto de prueba | f '' (-3) < 0 | f '' (-1) > 0 | f '' (1) < 0 | f '' (3) > 0 |
Signo de f '' (x) | - | + | - | + |
Curvatura | Convexa (∩) | Concava (∪) | Convexa (∩) | Concava (∪) |
Punto de inflexión
Por el apartado anterior sabemos que el punto que anula a la derivada segunda es x = 0 y vamos a determinar a través de la tercera derivada si se trata de un punto de inflexión.
Por lo tanto x = 0 es la abscisa del punto de inflexión ⇒ f(0) = 0 ⇒ Punto inflexión (0, 0)