Ejercicios de funciones trigonométricas: puntos de corte, período.
Calcula los puntos de corte de las siguientes funciones:
1) f(x) = sen(x) - cos(x)
2) f(x) = sen(x) + sen(2x)
4) f(x) = sen(x) - sen(2x)
Calcula el período de las siguientes funciones trigonométricas:
5) f(x) = sen(x + π/2)
6) f(x) = cos(3x + π)
7) f(x) = tg(5x)
8) f(x) = sen(3πx + π)
9) sen(6x)cos(4x)
10) f(x) = cos(6x)tg(3x)
11) f(x) = sen2(x)
12) Calcula la amplitud, el periodo y la traslación de las siguientes funciones:
1) y = 3 sen 5x
2) y = - 4 cos 3x
3) y = - sen (x/2)
13) Determina el periodo, la traslación y las asíntotas verticales de las siguientes funciones:
1) y = 5 tg 3x
2) y = - 2 tg (x + π/2)
Funciones trigonométricas: periodo, amplitud, asíntotas verticales, dominio e imagen.
Periodo | Amplitud | Asintotas verticales |
Dominio | Imagen | |
---|---|---|---|---|---|
y = sen x | 2π | 1 | No tiene | R | { y∈R | -1 ≤ y ≤ 1 } |
y = cos x | 2π | 1 | No tiene | R | { y∈R | -1 ≤ y ≤ 1 } |
y = tg x | π | π/2 (2k + 1) , k∈Z | { x∈R | x ≠ π/2 (2k + 1) } | R | |
y = cotg x | π | k·π , k∈Z | { x∈R | x ≠k·π } | R | |
y = sec x | 2π | π/2 (2k + 1) , k∈Z | { x∈R | x ≠ π/2 (2k + 1) } | { y∈R | y ≤ -1 ó y ≥ 1 } | |
y = cosec x | 2π | k π , k∈Z | { x∈R | x ≠k·π } | { y∈R | y ≤ -1 ó y ≥ 1 } |
Dominio y recorrido de las funciones trigonométricas
Dominio y recorrido de las funciones trigonométricas inversas
Calcula los puntos de corte de las siguientes funciones trigonométricas:
1) f(x) = sen(x) - cos(x)
Si x = 0 : f(0) = sen(0) - cos(0) = - 1 ⇒ (0 , -1)
Si y = 0 : 0 = sen(x) - cos(x) ⇔ sen(x) = cos(x)
Calcula los puntos de corte de las siguientes funciones trigonométricas:
2) f(x) = sen(x) + sen(2x)
Si x = 0 : f(0) = sen(0) + sen(0) = 0 ⇒ (0 , 0)
Si y = 0 : 0 = sen(x) + sen(2x) ⇔ 0 = sen(x) + 2sen(x)cos(x) ⇔ 0 = sen(x) [ 1 + 2cos(x) ]
Del dibujo se deduce que:
cos 120º = cos 240º = - 1/2
Pasamos los grados a radianes:
120º = 2/3 π , 240º = 4/3 π
Calcula los puntos de corte de las siguientes funciones trigonométricas:
Si x = 0 : f(0) = sen(π/2) - cos(-π/2) = 1 - 0 = 1 ⇒ (0 , 1)
Si y = 0 : 0 = sen( x + π/2) - cos(x - π/2)
Del dibujo se deduce que:
sen(x + π/2) = cos(x)
Aunque no nos hace falta, también se observa la equivalencia:
sen(x) = - cos(x + π/2)
Del dibujo se deduce que:
cos(x - π/2) = sen(x)
Aunque no nos hace falta, también se observa la equivalencia:
cos(x) = - sen(x - π/2)
0 = sen(x + π/2) - cos(x - π/2) ⇔ 0 = cos(x) - sen(x) ⇔ sen(x) = cos(x)
Es la misma ecuación del apartado 1), por tanto, los puntos de corte con el eje Y son:
Calcula los puntos de corte de las siguientes funciones trigonométricas:
4) f(x) = sen(x) - sen(2x)
Si x = 0 : f(0) = sen(0) - sen(0) = 0 ⇒ (0 , 0)
Si y = 0 : 0 = sen(x) - sen(2x) ⇔ 0 = sen(x) - 2sen(x)cos(x) ⇔ 0 = sen(x) [ 1 - 2cos(x) ]
Calcula el período de las siguientes funciones trigonométricas:
5) f(x) = sen(x + π/2)
El período de la función sen(x) es 2π , por tanto:
f(x) = sen(x + π/2) = sen(x + π/2 + 2π) = f(x + 2π)
El período de f(x) es T = 2π .
También podemos calcular el periodo de forma más fácil aplicando directamente la siguiente fórmula:
Por tanto el periodo es: 2π/1 = 2π
La gráfica f(x)= sen(x + π/2) se obtiene desplazando la función sen(x) a su izquierda π/2 unidades, por lo que el período no varía.
Calcula el período de las siguientes funciones trigonométricas:
6) f(x) = cos(3x + π)
El período de la función cos(x) es 2π , por tanto:
El período de f(x) es T = 2π/3 .
También podemos calcular el periodo de forma más fácil aplicando directamente la siguiente fórmula:
Por tanto el periodo es: 2π/3
Calcula el período de las siguientes funciones trigonométricas:
7) f(x) = tg(5x)
El período de la función tg(x) es π , por tanto:
El período de f(x) es T = π/5 .
También podemos calcular el periodo de forma más fácil aplicando directamente la siguiente fórmula:
Por tanto, el periodo es: π/5
Calcula el período de las siguientes funciones trigonométricas:
8) f(x) = sen(3πx + π)
El período de la función sen(x) es 2π , por tanto:
El período de f(x) es T = 2/3 .
También podemos calcular el periodo de forma más fácil aplicando directamente la siguiente fórmula:
Por tanto el periodo es: 2π/3π = 2/3
Calcula el período de las siguientes funciones trigonométricas:
9) sen(6x)cos(4x)
Tanto el período de la función sen(x) , como el de la función cos(x) , es 2π .
sen(x) = sen(x + 2π ) = sen(x + 4π ) = sen(x + 6π ) = ...
cos(x) = cos(x + 2π ) = cos(x + 4π ) = cos(x + 6π ) = ...
El período de f(x) es T = π .
Calcula el período de las siguientes funciones trigonométricas:
10) f(x) = cos(6x)tg(3x)
El período de la función coseno es 2π , y el de la función tangente es π , por tanto:
cos(x) = cos(x + 2π ) = cos(x + 4π ) = cos(x + 6π ) = ...
tg(x) = tg(x + π ) = tg(x + 2π ) = tg(x + 3π ) = tg(x + 4π ) = ...
El período de f(x) es T = π .
Calcula el período de las siguientes funciones trigonométricas:
11) f(x) = sen2(x)
Vamos a escribir f(x) de otra forma equivalente que nos permita calcular su período.
Usaremos la fórmula del coseno del ángulo doble: cos(2x) = cos2(x) - sen2(x)
Y también: 1 = cos2(x) + sen2(x)
cos(2x) = cos2(x) - sen2(x) ⇔ cos(2x) = (1 - sen2(x) ) - sen2(x) ⇔ cos(2x) = 1 - 2sen2(x) ⇔
⇔ 2sen2(x) = 1 - cos(2x) ⇔ sen2(x) = (1 - cos(2x) )/2
Ahora sí sabemos calcular su período teniendo en cuenta que el período de la función coseno es 2π :
El período de f(x) es T = π .
Calcula la amplitud, el periodo y la traslación de las siguientes funciones:
1) y = 3 sen 5x
Amplitud = |3| = 3
Periodo = 2π/|5| = 2π/5
Traslación : 5x = 0 ⇒ x = 0
5x = 2π ⇒ x = 2π/5 (igual al periodo)
No tiene traslación.
2) y = - 4 cos 3x
Amplitud = |-4| = 4
Periodo = 2π/|3| = 2π/3
Traslación : 3x = 0 ⇒ x = 0
3x = 2π ⇒ x = 2π/3 (igual al periodo)
No tiene traslación.
3) y = - sen (x/2)
Amplitud = |-1| = 1
Traslación : x/2 = 0 ⇒ x = 0
x/2 = 2π ⇒ x = 4π (igual al periodo)
No tiene traslación.
Amplitud = |1/5| = 1/5
Periodo = 2π/|2| = 2π/2 = π
Traslación : 2x + π/2 = 0 ⇒ x = - π/4
2x + π/2 = 2π ⇒ x = 3π/4
Amplitud = |2/3| = 2/3
Amplitud = |-3/4| = 3/4
Amplitud = |1/3| = 1/3
Determina el periodo, la traslación y las asíntotas verticales de las siguientes funciones:
1) y = 5 tg 3x
Periodo = π/|3| = π/3
Traslación = - 0/3 = 0 ⇒ No tiene traslación
Asíntotas verticales: 3x = - π/2 ⇒ x = - π/6
3x = π/2 ⇒ x = π/6
2) y = - 2 tg (x + π/2)
Periodo = π/|1| = π
Traslación = - (π/2)/1 = - π/2 a la izquierda
Asíntotas verticales: x + π/2= - π/2 ⇒ x = - π
x + π/2 = π/2 ⇒ x = 0
Periodo = π/|5| = π/5
Traslación = - (π/3)/5 = - π/15 a la izquierda
Asíntotas verticales: 5x + π/3= - π/2 ⇒ x = - π/6
5x + π/3 = π/2 ⇒ x =π/35