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Problemas y ejercicios de interpolación y extrapolación

Determinar la función lineal de interpolación que pasa por los puntos (-1 , 0) , (4 , 2) . Interpola el valor  a = 1  y extrapola el valor  b = 5.


Tenemos los puntos:


      P(x0 , y0) = (-1 , 0)


      Q(x1 , y1) = (4 , 2)


Obtenemos la función de interpolación lineal:


interpolacion_lineal


Interpolando   a = 1   obtenemos:     f(1) = 2/5 + 2/5 = 4/5


Extrapolando   b = 5   obtenemos:     f(5) = 2 + 2/5 = 12/5



interpolacion_lineal

En la siguiente tabla se recogen las presiones de vapor de agua en función de la temperatura:

x: temperatura (Cº) 8 25
y: presión (mm Hg) 9.3 32.2

a)   Calcula por interpolación lineal la presión del vapor de agua a la temperatura x = 20 ºC

b)   Calcula por extrapolación lineal la presión del vapor de agua a la temperatura x = 5 ºC


Para poder resolver ambos apartados necesitamos hallar la función de interpolación lineal asociada al problema.


Hallamos la pendiente tomando, por ejemplo, los puntos de la tabla:


      (x0 , y0) = (8 , 9.3)


      (x1 , y1) = (25 , 32.2)


Obtenemos la función de interpolación lineal:


función de interpolación


a)   Interpolando   x = 20   obtenemos:


            interpolación


b)   Extrapolando   x = 5   obtenemos:     f(4) = 4 + 1 = 5


            extrapolación


Calcula la recta que pasa por los puntos  A(-3, -2)  y  B(3, 4) .  Interpola el valor de la función para  x = 2  y extrapola el valor de la función para  x = 4 .



Hallamos la pendiente tomando, por ejemplo, los puntos A y B:


      (x0 , y0) = A(-3 , -2)


      (x1 , y1) = B(3 , 4)


Obtenemos la función de interpolación lineal:


      función de interpolación


Interpolando   x = 2   obtenemos:     f(2) = 2 + 1 = 3


Extrapolando   x = 4   obtenemos:     f(4) = 4 + 1 = 5


Para representar la recta tomamos los puntos del enunciado:



interpolación y extrapolación

Calcula la parábola que pasa por lso puntos A(-3 , 1), B(-1, -3) y C(2 , 5). Interpola el valor de la función para x = -2 y extrapola el valor de la función para x = 3.


Tenemos los puntos:


      (x0 , y0) = (-3 , 1)


      (x1 , y1) = (-1 , -3)


      (x2 , y2) = (2 , 5)


Resolvemos el sistema de ecuaciones:


solución al sistema


Aplicamos el método de reducción con la primera y segunda ecuación, y con la segunda y tercera ecuación:


método de reducción


Resolvemos el sistema que nos queda:


sistema de ecuaciones


Aplicamos reducción multiplicando la primera ecuación por 3:


solución al sistema


Despejamos b de la primera ecuación del sistema y sustituimos por valor de a:


4a - b = 2     ⇔     b = 4a - 2 = 4(14/15) - 2     &⇔     b = 26/15


Despejamos c de la segunda ecuación del sistema de ecuaciones original, y sustituimos por los valores hallados:


sistema de ecuaciones


Luego la función de interpolación es:


            función de interpolación


Interpolando x = -2 obtenemos:


            interpolación


Extrapolando x = 3 obtenemos:


            extrapolación

Determinar la función cuadrática de interpolación que pasa por los puntos (0 , -3) , (1 , 0) , (3 , 0). Interpola el valor  a = 2  y extrapola el valor  b = -1.


Tenemos los puntos:


      (x0 , y0) = (0 , -3)


      (x1 , y1) = (1 , 0)


      (x2 , y2) = (3 , 0)


Resolvemos el sistema de ecuaciones:


            sistema_ecuaciones


solucion_sistema


solucion_sistema


solucion_sistema


Luego la función de interpolación es:


            y = - x2 + 4x - 3


Interpolando a = 2 obtenemos:     y = - 22 + 4·2 - 3 = 1


Extrapolando b = - 1 obtenemos:     y = - (-1)2 + 4·(-1) - 3 = - 8



ejemplo